整数問題bot

難易度はbot主が 15分以内にできる→激易 15〜30分でできる→易 30分〜1時間でできる→やや易 1時間以上かかるけどまあ1日でできる→標準 何日もかかってできる→やや難 無理→難 になっています。

[27]10^210／((10^10)+3)の整数部分の桁数と1の位を求めよ。ただし3^21＝10460353203である(1989年東大4、易)

[204]次の条件を満たす正の整数の組(a,b,c,d)を全て求めよ. 条件　ab+cd,ac+bd,ad+bcがすべて2の冪乗となる. (2019年京都数学コンテスト5改、易)

[57]n³-m²n+m²＝0を満たす整数(m,n)の組を全て求めよ(1982年立命館大学、3分問題)

[76]数列{a_n}をa_1＝1,a_2＝2, a_(n+2)＝((a_(n+1))²+(-1)ⁿ)／(a_n) と定めたとき任意の自然数nに対してa_n＜a_(n+1)でa_nが整数となることを示せ(2011年大阪教育大後期、易)

[9]nを自然数とするとき、n²＋1と(n＋1)²＋1の最大公約数を求めよ(2012年第二回京大実戦模試理系6、激易)

[125]数列{a_n}をa₁＝1,a_(n＋1)＝3(a_n)＋2√(2(a_n)²－1)で定める。このとき任意の自然数nに対し、√(2(a_n)²－1)は自然数であることを示せ(大学への数学2014年4月号学力コンテスト4、易)

[49]10進数で表して5桁以上の平方数に対し、千の位の数、百の位の数、十の位の数、および一の位の数の４つ全てが同じ数となるならば、その平方数は10000で割り切れることを示せ(2004年東大前期、易)

[29]pを素数、nを自然数とし、√(n(n+p))は整数となる。このときnは平方数となることを示せ(2010年京大実戦4、激易)

[169]a,kを正の整数、pを2より大きい素数とする。このとき a^(p－1)－1＝p^k となる(a,k,p)をすべて求めよ(2015年奈良県立医大後期3、5分問題)

[3]自然数nが素数pで割れないならn^p≡n(modp)を示せ(フェルマーの小定理、激易)

[79]整数を係数とする多項式f(x)について、任意の自然数nに対してf(n)が素数となるならf(x)は定数であることを示せ(2002年慶応大理工、激易)

[199] nの正の約数の個数をf(n)と表わすとき次の条件を満たす定数dは存在するか 条件…n＜(f(n))^dとなるような正の整数nの最大値が2016となる (自作問題、激易)

[234]正の奇数Nに対してaₙ=n³+Nとする。任意のNに対して「aₘが4で割ると3余る素因数を持たない」ような整数mが存在することを示せ(2019年11月東進数学コンクール、難)

[237]1/[x+{1/{y+(1/z)}]=9/11を満たす整数の組(x,y,z)をすべて求めよ(2015年一橋大学後期1、激易)

[235]素数の組(p,q)であってp³+3q³-32が素数となるものをすべて求めよ(2022年JJMO本選1、3分問題)

[280] ある正の整数Nが存在して「n＞Nである任意の正の整数nに対し, ₙCₖがある2以上の整数の2024乗となる数を約数にもつような1以上n-1以下の整数kが存在する」ことを示せ(第125回東進数学コンクール、易)

[71]a,b,c,dは素数とする。整式 (ax+b)(-cx+d)-3 をx²+x+1で割った余りが定数となるとき、 その余りは整数の2乗であることを示せ(2009年第二回京大オープン4、激易)

[258]2ᵃ+3ᵇ=5ᶜ・17ᵈを満たす正の整数の組(a,b,c,d)を求めよ(大学への数学2024年9月号宿題、易)

[47]自然数m≧2に対し、mC1,mC2,…,mCm₋1を考え、これら全ての最大公約数をd_mとする。 (1)全ての自然数kに対し、(k^m)－kがd_mで割り切れることを帰納法で示せ。 (2)mが偶数ならd_mは1か2であることを示せ。 (2009年東大1、激易)

[176]y²＝x²＋x＋kを満たす0以上の整数(x,y)の組が2個となるような正の整数kを全て求めよ(第五回京進解法コンテスト、やや易)