どちゃ楽数学bot

[固定] botの解答集です。 github.com/ku-sakumon-circle…

Q.69 ☆7-高◎ [1984一橋大] 三角形ABCにおいて,tanA,tanB,tanCの値が全て整数であるとき、それらの値を求めよ。

自作謎極限シリーズ

Q.68 ☆5-高 [2016東大理系] zを複素数とする。複素数平面上の三点 A(1),B(z),C(z^2) が鋭角三角形をなすようなzの範囲を求め,図示せよ。

Q.67 ☆3-高 [進研模試 数学A] 三角形ABCについて,AB=5, BC=3√5, tanA=-3/4 である。∠BCD=90°かつCD=√5/2である点Dを,点Aと同じ側に取り,直線ACと直線BDの交点をEとする。DEの長さを求めよ。

Q.66 ☆? [存在証明] mtbrs.net/ps_solovemath_HHZl…

Q.65 ☆3-高 [Fermat数2^(2^5)+1] 641 = (5^4)+(2^4) = 5·(2^7) +1 に注意して,以下の問題に答えよ。 (1) (5^4)·(2^28)+(2^32) と (5^4)·(2^28)-1は641の倍数であることを示せ。 (2) (2^32)+1は641の倍数であることを示せ。

Q.64 ☆8-高 [Z会京大理系実戦演習] aを実数の定数とする。xの方程式 x^5-x^4+ax^3+ax^2-x+1=0 の5つの解のうち, 少なくとも2つの解が一致するとき,aの値と,一致する解を求めよ。

Q.63 ☆2 [京大OP] pを無理数,qを実数とする。数列{a_n}が a_{n+1}=pa_n +q (n=1,2,3,…) を満たす。すべての自然数nに対して a_n が有理数であるとき, a_nはnによらない定数であることを証明せよ。

Q.62 ☆7-競 [2014 AIMEI] 次の三次方程式を解け。 (√2014)x^3 − 4029x^2+ 2 = 0

Q.61 ☆7-高 [2019関西医科大 後期] 実数a,bを用いて表されるxの4次方程式 x^4+4ax^3+2(2b-1)x^2+4ax+1=0 のすべての解が,複素数平面上で原点から等距離にある。この条件を満たす解が存在するようなa,bの条件を求め,点(a,b)の存在範囲をab平面上に図示せよ。

Q.60 [整数 素数編] 次の各問の条件をみたす素数p,q,r,sを求めよ。 (1) p^q+q^pが素数　[京大] (2) p+q=r, pr=q+s　[学コン] (3) pq-1, qr-1が平方数かつpr-1が素数の6乗　[学コン] (4) 2^(p^2-q^2)-1=pqrs　[Awesomemath]

Q.59 (1) ☆5-高 [l_ength 様] (2) ☆6-大 [FromDMRK 様] mtbrs.net/ps_solovemath_CzJq…

Q.58 ☆10-競 [数オリ系 出典不明] pを3より大きい素数, kを2p/3以下の最大の整数とするとき,pC1 + pC2 + …… + pCk はp^2の倍数であることを示せ。

Q.56 [近似値] πを円周率, eをネイピア数とする。 (1) 3＜π＜4 を示せ。☆2-高 (2) 2＜e＜3 を示せ。☆3 (3) 円周率が3.05より大きいことを証明せよ。☆4 [東大]

Q.57 ☆3 [2006京大] Q(x)を2次式とする。整式P(x)はQ(x)では割り切れないが、{P(x)}²はQ(x)で割り切れるという。このとき2次方程式Q(x)=0は重解を持つことを示せ。 ※この問の「整数版」はどのように考えられるか？（多項式と整数は性質が似ていると信じられている）

Q.55 ☆3 [学コン 2009-11-2] x,y座標がともに有理数の点を"有理点"とする。 (1)点(a,b)を直線y=mxに関して対称移動した点の座標を求めよ。 (2)原点を中心とする円C上に有理点が1つでもあれば,C上に有理点が無数にあることを示せ。 （この有理点を生成する手法は楕円, 放物線, 双曲線にも利用できる）

Q.54 ☆3◎ [自作, DMO2nd 4-1] 不等式 1≦log_{x^2+y^2}(√3 x+ y) で表される領域をxy平面上に図示せよ。

Q.53 ☆6-高 [2019早稲田 商] 各項が整数である数列{a_n}が, 次の条件を満たしている。 (ⅰ) 0 ＜ a_n ＜ a_{n+1} (ⅱ) すべての正の整数nに対し, a_n - n^2は5の倍数 (ⅲ) a_{2019}=6056 次の設問に答えよ。 (1) a_4を5で割った余りを求めよ。 (2) a_n=2021となる正の整数nを求めよ。