✨📚 数 学 汎 典 📚✨
Virtual Math City Tenyugaoka
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パラコンパクト空間の記事よりあとで p-空間のことを述べることもできるが、パラコンパクト空間の記事よりも前で p-空間のことを述べた方が面白い、との御指摘を賜り、そうするための準備を整えている
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パラコンパクト空間、Lindelöf空間、Cech完備空間のように明らかに重要そうなものではなくて、可算コンパクト空間や擬コンパクト空間のようにコンパクト空間にかなり近いクラスというわけでもないクラスで、他の空間のクラスと比べて群を抜いて重要な空間のクラスとして、可算型空間とp-空間がある(??)
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区分ごとに論理的な依存関係を張るなら圏論 I / ホモロジー代数 I / 層論 I と分けてそれぞれそれなりに深掘りしたとしても、後続単元がその最初の部分しか使わないというようにして前提を重くしないようにできるとは思う だからまあ３つにわけたっていいんじゃあないかとおもってきた
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被覆系⇄近縁系
と同じ行き来の構成を p-構造でやれば、児玉永見の用語で、コンパクト化 cX において、
外延的 p-構造⇄(対角集合 Δ⊂X×cX を含む X×cX の G_δ 集合 W で Δ⊂W⊂X×X となるもの)
が行き来できる。この W を日本語にするなら近縁的 p-構造、くらいか？
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定理 5.1 (Frolík の定理) | 可算型空間 | 位相空間論 I | 数学汎典
math-pandect.com/tag/00DS1/#…
これを p-空間に対してやりたいが、p-空間の場合はここで剰余の σ-コンパクト性を使っていた部分をもう少し弱いものに置き換える必要がある、でもこの証明はそこがクリティカルだからなあ
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ふつうに X×cX の対角Δを含んで X×X に含まれる X×cX の G_δ 集合 Δ⊂W⊂X×X の補集合 X×cX＼W を可算個の関数 f_n：cX→[0,1] のどれかで分離されるように (f_n) が選べる。これを並べればいい。実際 f：cX→[0,1] に対し U(f):= {(x,z)∈X×cX｜f(x)≠f(z)} とおけば X×cX＼Δ=∪_fU(f)
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定理 4.3 (Roelcke–Dierolf の埋め込み定理) | 完備性 | 位相群論 I | 数学汎典 math-pandect.com/tag/00J1W/#… @math_pandectより
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可算型群（feathered 群）の同値条件を等質空間の場合へ一般化できれば、Cech 完備群の閉部分群での剰余類空間の Cech 完備性（Brown の定理）が Cech 完備群を可算型群の Raikov 完備性で特徴付ける Čoban の定理の証明とパラレルに議論できそうだなとおもってきた
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